1. Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn) c массами m1,m2,m3, . . . , mn.

Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.

Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы.

Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

[pic]

[pic]

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

2. Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной ( для всех частей фигуры.

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски ширины (x1, (x2, . . ., (xn. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность (. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием (xi и высотой f2(()- f1((), где ([pic], то масса полоски будет приближенно равна

[pic] (i = 1, 2, ... ,n).

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

[pic]

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

[pic]

Переходя к пределу при [pic], получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

[pic]

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности ( фигуры (в процессе вычисления ( сократилось).

3. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . ., mn определяются по формулам

[pic].

В пределе при [pic] интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

[pic](*)

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность (.

Если же поверхностная плотность переменна:

[pic]

то соответствующие формулы будут иметь вид

[pic]

Выражения

[pic] и

[pic] называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

Интеграл [pic] выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

4. Теоремы Гульдена.

Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

II.Примеры.

1)

Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2, расположенной над осью Ox.

Решение: Определим абсциссу центра тяжести: [pic],

[pic]

Найдем теперь ординату центра тяжести:

[pic]

2)

Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае [pic] поэтому

[pic]

[pic] (так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)

Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса

(рис. 3)

[pic] полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение: По формулам (*) получаем:

[pic]

[pic]

4)

Условие:

Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии [pic].

Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти [pic]. Имеем [pic] тогда [pic] длина дуги

[pic]

Следовательно,

[pic]

5)

Условие:

Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга

[pic].

Решение:

При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен [pic]

Согласно второй теореме Гульдена, [pic] Отсюда [pic] Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому [pic]