|
Введение На текущий момент разработано ряд математических моделей вида реакции-диффузии: (Q1, Q2 - нелинейные функции; λ - параметр системы) (1) в областях: Химии Пример. Автокаталитическая реакция. Для этой реакции соответствует задача: Экологии Теории морфогенеза Физики плазмы Теории горения Другие Требуется: классифицировать качественное поведение решения уравнений (1) в зависимости от различных правых частей классифицировать системы вида (1) В работе 1975 года Курамото и Цудзуки сделали вывод, что у большинства диссипативных систем существует аналог термодинамической ветви. При всех значениях параметра, исследуемые уравнения имеют однородное по пространству стационарное решение. Это решение устойчиво при λ<�λ0. Поведение решений после потери устойчивости термодинамической ветви (λ>λ0) определяется спектром линеаризованной задачи для уравнения (1) в окрестности точки бифуркации λ0. Уравнение, предложенное Курамото и Цудзуки, описывает поведение в окрестностиλ0, вида: (2) Функция W(R, T) - характеристика отклонения решений системы (1) от пространственно-однородного решения. Таким образом, уравнение (2) описывает только случаи, когда при λ>λ0 решение остается в малой окрестности термодинамической ветви. Без ограничения общности, в уравнении (2) можно положить с0=0, в этом можно убедится сделав замену переменных W=W´exp(i c0 t). И так получается, вторая краевая задача при условии, что потоки на границе равны нулю: (3) Упрощенная модель Предположим, что в изучаемом решении системы (3) есть только две моды: (4) Остальными пренебрежем, поскольку коэффициенты Фурье решений быстро убывают с ростом их номера. Коэффициент k будем выбирать так, чтобы выполнялись граничные условия задачи (3), например: k=π/l. Подставим (4) в (3) и отбросим все члены, куда входит cos(πmx/l), m>1, считая, что они пренебрежимо малы. (5) Пусть (для удобства), то получается соотношения: (6) Сделаем замену переменных в (6) (7) Двухмодовая система Рассмотрим систему (7). Простейшие решения ξ=0, η=0, θ=2c1k2t+const – неустойчивый узел в системе (5). ξ=0, η=0, θ= θ(t), c12k4+2c1c2k2-1=0 – две особых точки седло и устойчивый узел. Узел теряет устойчивость на линии (c12+1)k4+2k2(1+c1c2)=0. ξ=0, P(c1,c2,k)=(9c12+6c1c2-4-3c22)k4-2k2(3c1c2-4-3c22)-(4+3c22) P(c1,c2,k)≤0, k<1 – пара особых точек. Одна из них устойчива при P(c1,c2,k)>-(4k2-1)2. P(c1,c2,k)>0 – инвариантная прямая, при k<1/2 – устойчива. Свойства системы Ограниченность решений. Из системы (7): Следовательно: Так как z(t) ограничена и, то ξ(t) и η(t) - ограничены. Особые точки ξ=0 или η=0 - уже рассматривались. Другие особые точки определяются из уравнений Система может иметь: Двукратный корень, если выполнены равенства Трехкратный при Ограниченная двухмодовая система Мы перешли к системе (7) трех уравнений, в которой переменная θ играет роль угла и может неограниченно расти при t>∞. Сделаем замену переменных следующим образом:, получаем (8) Систему (8) имеет ограниченное решение при z>0. Особые точки и решения, которые возникают при x=0 или y=0, рассмотрены выше. Далее ограничим задачу, будем рассматривать систему (8) только при k=1. Режимы Система (8) - модель, в которой возникают различные режимы: Стационарный Простой предельный цикл Пример. c1=3,c2=-4;k=1; Сложный предельный цикл Атрактор Не исключено проявление квазиатрактора Данное проявление связанно с существованием нескольких различных в пространстве предельных областей, эти области могут находиться на очень близком расстоянии. В результате при численном анализе, траектория может скакать с одного решения на другое. Пример, существования двух областей притяжения на рис. при c1=1.21, c2=-9, k=1.0. Бифуркации На рисунке показана карта бифуркаций в области обцыса c1=[1; 8], ордината c2=[-5; -5.67], k=1 с шагом 0.01 по параметрам c1 и c2. Каждой точке соответствует пара c1, c2 и цвет, обозначающий красный - хаотическое поведение синим - бифуркация удвоения периода черным - остальные бифуркации пер
|
