Введение

Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков. Эти трудности роста математики — трудности её обоснования: они были, есть и будут в дальнейшем.

Трудности обоснования математики играют наиболее значительную роль в развитии математики тогда, когда возникает необходимость в коренной переработке основ и методологии всех (или достаточно большого числа) математических теорий. В этих случаях говорят о кризисе основ математики.
Известны три таких кризиса.

Впервые кризис основ наук возник в математике в древней Греции, в начале её формирования как научной системы. Второй имел место в конце XVII и в XVIII веке. Третий возник в конце XIX века, он не преодолен и в наше время и оказывает влияние на развитие современной математики.

Мы рассмотрим сущность этих кризисов математики, имея в виду преимущественно подтверждение выводов, сделанных ранее о закономерностях развития математики как теории.

I. Способы обоснования математики в

древней Греции от Пифагора до Евклида.

1. Математика пифагорейцев

Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571–479 гг. до н. э.).

Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию — открытие новых математических фактов. По форме — построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.

Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.
Наличие у пифагорейцев учения о паралельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.

Успехи пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников — тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет).

Однако они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел
(пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т. е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). По видимому, они установили, что если число 2п–1 является простым, то число 2п–1((2п–1)
— совершенное. Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.

По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному.

[pic]Рис. 1

Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного (рис. 1).

Пусть, действительно, диагональ АВ соизмерима со стороной АС квадрата
АСВД.

Тогда [pic], где р и q — натуральные числа. Дробь [pic] можно считать несократимой (иначе её можно было бы сократить); значит, р или q будет числом нечетным.

Примем АС=1. По теореме Пифагора должно быть:

[pic];

Значит

[pic], т. е. р2 делится нацело на 2; следовательно и р также делится нацело на
2: р=2р1, где р1 — некоторое натуральное число.

Аналогично получаем: q=2q1, где q1 также некоторое натуральное число.

Итак, р и q — оба четные числа. Поскольку р или q — число нечетное, выходит, что четное число равно нечетному числу. В конце V века до н. э.
Феодор из Кирены установил, что несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной не является исключением. Он показал, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5, 6, …, 17 несоизмеримы со стороной единичного квадрата. Пифагор учил, что сущность всех вещей есть число; число — сами вещи; гармония чисел — гармония самих вещей. Аристотель говорил, что у пифагорейцев числа принимались за начало и в качестве материи и в качестве
[выражения для] их состояния и свойств.

Открытие несоизмеримых величин сначала “вызвало удивление”
(Аристотель). Это естественно: до открытия Пифагора древнегреческие математики считали, что любые два отрезка имеют общую меру, хотя, может быть, и очень малую. Когда, однако, пифагорейцы убедились, что доказательство существования несоизмеримых величин безупречно, они поняли, что их философия оказалась в затруднительном положении.

Пифагорейцы знали только положительные целые и дробные числа. Следуя своей философской установке, они, по сути дела, считали, что каждая вещь может быть охарактеризована положительным целым или дробным числом, которое
“выражает сущность” этой вещи. На деле это означало, что геометрия строилась на базе арифметики. Открытие несоизмеримых отрезков знаменовало поэтому начало кризиса пифагорейской философии и методологических основ развиваемой ими системы математики. После обнаружения существования несоизмеримых величин перед пифагорейцами открылись две возможности. Можно было попытаться расширить понятие числа за счет присоединения к рациональным числам чисел иррациональных, охарактеризовать несоизмеримые величины числами иной природы и таким образом восстановить силу философского принципа “все есть число”.

Однако, этот путь столь естественный и простой с современной точки зрения, для пифагорейцев был закрыт. В этом случае надо было построить достаточно строгую арифметическую теорию действительных чисел, что при уровне пифагорейской математики было делом невыполнимым. Поэтому надо было идти по другому пути — по пути определенного пересмотра исходных принципов, например принять, что геометрические объекты являются величинами более общей природы, чем дробные и целые числа, и пытаться строить всю математику не на арифметической, а на геометрической основе. Именно этот второй путь и избрали пифагорейцы, а вслед за ними большинство древнегреческих математиков, вплоть до Архимеда и Аполлония.

2. Проблема бесконечности в

древнегреческой философии и математике

В древнегреческой философии понятие бесконечности появилось впервые у материалистов милетской школы. Анаксимандр (610–546 гг. до н. э.), переемник Фалеса, учил: материя бесконечна в пространстве и во времени; вселенная бесконечна, число миров бесконечно. Анаксимен (546 г. до н. э. — расцвет деятельности) говорил: вечный круговорот материи — это и есть бесконечность.

Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у
Анаксигора (около 500–428 гг. до н. э.). В сочинении “О природе” Анаксигор писал: вещи бесконечно делимы, нет последней ступени делимости материи; с другой стороны, всегда имеется нечто большее, что является большим.

Бесконечность для Анаксогора — потенциальная; она существует в двух формах: как бесконечно малое и бесконечно большое. В математике точка зрения Анаксагора нашла благоприятную почву благодаря открытию несоизмеримых величин — величин, которые не могут быть измерены любой, какой угодно малой, общей мерой.

Демокрит (около 560–570 гг. до н. э.), по-видимому, изучал так называемые роговидные углы (углы, образуемые дугой окружности и касательной к ней).

Поскольку каждый роговидный угол “меньше” любого прямолинейного угла, здесь появляется понятие актуально бесконечно малого. Впоследствии появилось и понятие актуальной бесконечности.

Аристотель (384–322 гг. до н. э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике.
Математики считали, что “целое больше любой своей части” и, тем самым, по существу, исключали актуальную бесконечность. Философы (Аристотель, например) доказывали противоречивость понятия актуальной бесконечности и тем самым поддерживали математиков.

Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона
Элейского (около 490–430 гг. до н. э.). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение — это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами.

Зенон Элейский выдвинул 45 апорий (антиномий), имея при этом целью развить и лучше обосновать учение Парменида. Из этих антиномий до нашего времени дошло только 9. Вот наиболее характерные из них.

Против движения.

“Дихотомия”. Движения нет, потому что то, что движется, должно дойти до середины, прежде чем оно дойдет до конца. Но если бы тело дошло до середины, оно должно было бы раньше дойти до середины этой середины и т. д. до бесконечности, а это невозможно. Таким образом движение не может начаться.

“Ахиллес и черепаха”. Медленный в беге никогда не будет перегнан быстрым, потому что тот, кто преследует, должен сначала достичь точки, из которой начал убегающий, так что убегающий всегда будет на некотором расстоянии впереди.

Заслуга Зенона Элейского в развитии философии и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В. И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий.

Однако, Зенон последнюю задачу не решил, не решили её и другие ученые древней Греции.

3. Три знаменитых задачи древности

В развитии содержания и способов обоснования математики древней Греции выдающуюся роль сыграли три задачи: трисекция угла, удвоение куба
(делийская задача) и квадратура круга.

Пробуждение особого интереса к этим задачам именно в древней Греции не случайно. При построении математики как дедуктивной системы, базирующейся на геометрическом фундаменте две первые задачи появляются как естественные обобщения более элементарных задач. Задача о квадратуре круга была получена
“по наследству” от древних египтян и вавилонян.

Трисекция угла. Дан (АВС, требуется разделить его на три равные части.
Формулировка задачи относится к любому углу и является обобщением задачи о делении данного угла на две равные части.

[pic]Рис. 2

Удвоение куба. Построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба. Построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Если сторона данного квадрата а, а искомого х, то х2=2а2;
[pic]. Следовательно, сторона искомого квадрата равна диагонали данного.
Отсюда осуществимость построения циркулем и линейкой искомого квадрата
AA`CC` (рис. 2).

Вполне естественно было перейти от этой задачи на плоскости к соответствующей задачи в пространстве: построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба.

Квадратура круга. Построить квадрат, по площади равный данному кругу.

Ни одна из указанных задач не разрешима циркулем и линейкой.

4. Преодоление кризиса основ

древнегреческой математики

Пифагорейцы заложили основы геометрической алгебры. Теэтет и Евклид установили классификацию квадратичных иррациональностей.

Евдопс развил общую теорию пропорций — геометрический эквивалент теории положительных вещественных чисел — и разработал метод исчерпывания — зачаточную форму теории пределов, основанную на геометрической базе. Эти теории создали прочный каркас здания древнегреческой математики, фундаментом которого была геометрия; тем самым преодолевались трудности, связанные с фактом существования несоизмеримых величин.

Чтобы избежать трудностей в обосновании математики, связанных с парадоксами бесконечности (Зенон, Аристотель), большинство ученых древней
Греции предпочли отказаться от использования в математике идей бесконечности и движения или свести их применение к минимуму. В качестве такого минимума было принято утверждение о неограниченной делимости геометрических величин.

Рассмотрение трех знаменитых задач привело древнегреческих ученых к убеждению, что решение геометрической задачи может считаться выполненным строго геометрически лишь при условии использования только (идеальных) циркуля и линейки. Использование механических средств в геометрии не допускается.

Только после основополагающих работ пифагорейцев, Теэтета, Евдокса и других математиков, после соглашения о необходимых ограничениях и допустимых средствах построения, Евклид написал “Начала”, посвященные основам и методам древнегреческой математики. В “Началах” Евклида кризис основ древнегреческой математики был преодолен — конечно, для своего времени, и, добавим, преодолен не во всех пунктах и не всегда совершенным образом.

II. Способы обоснования математики в

XVIII и в первой половине XIX века

1. Особенности способов обоснования

математики в конце XVII и в XVIII веке

В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.

В конце XVII и в XVIII веке в математике и механике были получены классические результаты фундаментального значения. Основным здесь было развитие дифференциального и интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и аналитической механики. Значительные результаты были получены в алгебре и теории чисел.
А. Эйлер, а вслед за ним и некоторые другие ученые второй половины XVIII века проделали большую работу по систематизации содержания математических дисциплин, в первую очередь математического анализа, а вместе с ним алгебры и тригонометрии.

Вместе с тем, в рассматриваемый период способы обоснования математических теорий — особенно дифференциального исчисления — резко отставали от бурно развивающегося содержания математики. Это отставание проявилось в различных, между собой связанных формах и притом своеобразно в отдельных математических теориях.

Общей чертой попыток обоснования математики с конца XVII и планомерно до последней четверти XVIII века было стремление обосновать каждую математическую теорию в полном соответствии с истинами элементарной,
“низшей” (по терминологии Ф. Энгельса) математики, т. е. элементарной математики, какой она была примерно до открытия аналитической геометрии.
Это стремление проявилось в двух формах. Сначала математики пытались воздвигнуть развиваемые ими математические теории на фундаменте, построенном в свое время для обоснования “низшей” математики. Это хорошо показывают господствовавшие в то время способы обоснования алгебры и учения о числе. Если же такое построение явно не удавалось (что было особенно ясно в отношении дифференциального исчисления с момента его возникновения), то старались обосновать математическую теорию на принципах, специально для неё разработанных, содержание которых можно максимально согласовать,
“примирить” (Энгельс) с истинами “низшей” математики.

Иначе говоря, в обоих случаях принципы и утверждения “низшей” математики метафизически абсолютизировались, рассматривались как незыблемый фундамент каждой математической теории.

В конце XVII и особенно в первых трех четвертях XVIII века основные понятия и законы, установленные в одной математической теории часто переносились в новые области исследования, совершенно формально, т. е. без обоснования.

Законы алгебры и математического анализа формировались без указания переменных, для которых они справедливы, и без указания границ их применимости. Такая трактовка законов алгебры и математического анализа, естественно, распространялась и на основывающиеся на них алгоритмы.

К середине XVIII века описанная трактовка законов математического анализа и алгебры стала настолько общепринятой, что Л. Эйлер счел возможным истолковать её как основной принцип методологии анализа вообще. Случилось это при следующих обстоятельствах.

В начале XVIII века между Лейбницем и И. Бернулли возник спор о
“природе” логарифмов отрицательных чисел. И. Бернулли полагал, что при х>0, ln(–x)=ln x, так как [pic].

Лейбниц не согласился с И. Бернулли; он утверждал, что отрицательное число имеет бесчисленное множество логарифмов, причем все они — числа комплексные. Среди других своих аргументов Лейбниц указал, что правило дифференцирования ln x, установленное для х>0, не обязательно должно быть справедливым и для ln(–x).

При помощи особой аргументации Л. Эйлер решил спор в пользу Лейбница.
Однако указанный аргумент Лейбница Эйлер решительно отклонил. “Это возражение,— указывал Эйлер,— если бы оно было верно, поколебало бы основное положение всего анализа, заключающееся, в основных чертах, в общности правил и операций, признаваемых справедливыми, какова бы ни была природа количеств, к которым они прилагаются”.

Как мы видим, подход математиков в XVIII веке к выяснению границ приложимости методов математики и трактовка её принципов были явно метафизическими.

В XVIII веке доказательство теорем математического анализа нередко проводили, опираясь на господствовавшие тогда механические и геометрические представления. Начало широкому использованию механических представлений как базы математического анализа положил Ньютон в своем учении о флюентах и флюксиях. Что же касается указанного использования геометрических представлений, то проще всего выяснить суть дела на следующем примере.

В наше время теорема о прохождении непрерывной функции через нулевое значение доказывается в классическом математическом анализе чисто аналитически с использованием понятия бесконечного множества. В XVIII веке если эта теорема и доказывалась, то чаще всего указанием на то, что непрерывная кривая f(x), соединяющая точки А и В, расположенные в плоскости по разные стороны оси ОХ, существует по меньшей мере одна точка с абсциссой х=с, a