Теорема Безу
Этьен Безу–

французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К.
Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-
69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома Pn(x) на двучлен (x-a) равен значению этого полинома при x = a.

Пусть :

Pn(x) – данный многочлен степени n , двучлен (x-a) - его делитель,

Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен степени n-1 ) ,

R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать :

Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R .
Отсюда при x = a :

Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R=

=0+R=R .

Значит , R = Pn (a) , т.е. остаток от деления полинома на
(x-a) равен значению этого полинома при x=a , что и требовалось доказать .

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома Pn (x) на двучлен ax+b равен значению этого полинома при x = -b/a , т. е. R=Pn (-b/a) .

Доказательство :

Согласно правилу деления многочленов :

Pn (x)= (ax + b)* Qn-1 (x) + R .
При x= -b/a :

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R
= Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем многочлена P (x) , то этот многочлен делится на (x-a) без остатка .

Доказательство :

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x) на x- a равен P (a) , а по условию a является корнем P (x) , а это значит , что P (a) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P (x) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена

P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .

Следствие 3 :

Если многочлен P (x) имеет попарно различные корни a1 , a2 , … , an , то он делится на произведение (x-a1) … (x-an) без остатка .

Доказательство :

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n=1 утверждение доказано в следствии 2 .
Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на (x-a1)(x- a2) … (x-ak) , где a1 , a2 , … , ak - его корни .

Пусть P(x) имеет k+1 попарно различных корней .По предположению индукции a1 , a2 , ak , … , ak+1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение (x-a1) … (x- ak) , откуда выходит , что

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).
При этом ak+1 – корень многочлена P(x) , т. е.

P(ak+1) = 0 .
Значит , подставляя вместо x ak+1 , получаем верное равенство
:

P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) =

=0 .
Но ak+1 отлично от чисел a1 , … , ak , и потому ни одно из чисел ak+1-a1 , … , ak+1-ak не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q(ak+1) , т. е. ak+1 – корень многочлена Q(x) . А из следствия 2 выходит , что Q(x) делится на x-ak+1 без остатка .

Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) , и потому

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) .

Это и означает , что P(x) делится на (x-a1) … (x- ak+1) без остатка .

Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .

Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более n различных корней .

Доказательство :

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен Pn(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a1 , a2 , … , an+k
- его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение (x-a1) … (x-an+k) , имеющее степень n+k , что невозможно .
Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем n корней , что и требовалось доказать .

Следствие 5 :

Для любого многочлена P(x) и числа a разность

(P(x)-P(a)) делится без остатка на двучлен (x-a) .

Доказательство :

Пусть P(x) – данный многочлен степени n , a - любое число .

Многочлен Pn(x) можно представить в виде :

Pn(x)=(x-a)Qn-
1(x)+R , где Qn-1(x) – многочлен , частное при делении Pn(x) на (x- a) ,

R – остаток от деления Pn(x) на (x-a) .

Причём по теореме Безу :

R = Pn(a) , т.е.

Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(a) .
Отсюда

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) , а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) ) на (x-a) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем многочлена P(x) степени не ниже первой тогда и только тогда , когда

P(x) делится на (x-a) без остатка .

Доказательство :

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .

1.Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P(x) , тогда по следствию 2
P(x) делится на (x-a) без остатка .

Таким образом делимость P(x) на (x-a) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) , т.к. является следствием из этого .

2.Достаточность .

Пусть многочлен P(x) делится без остатка на (x-a), тогда R = 0 , где R – остаток от деления P(x) на (x-a)
, но по теореме Безу R = P(a) , откуда выходит , что P(a) = 0
, а это означает , что a является корнем P(x) .

Таким образом делимость P(x) на (x-a) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P(x) .

Делимость P(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P(x) , что и требовалось доказать .

Следствие 7(авторское):

Многочлен , не имеющийй действи- тельных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит .

Доказательство :

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a):

P(x) = (x – a)Q(x), тогда бы он делился на (x – a) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P(x) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен , не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .

На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:

1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка :

Пусть P(x) = xn , P(a) = an , тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней .

По следствию 5

P(x) - P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) , а это значит , что

(xn–an)/(x–a)=Q(x), т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак
(xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1.

2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

Пусть P(x) = x2k , тогда P(a) = a2k .
Разность одинаковых чётных степеней x2k - a2k равна P(x) –
P(a) .
P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a).

По следствию 5

P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=

= (x + a)Q(x) а это значит , что x2k – a2k = (x + a)Q(x) или

(x2k – a2k)/(x + a) = Q(x) , т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1.

3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

Пусть P(x) = x2k+1 - a2k+1 – разность одинаковых нечётных степеней .

По теореме Безу при делении x2k+1 - a2k+1 на x + a = x
– (-a) остаток равен

R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1
Т. к. остаток при делении не равен 0 , то разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится , что и требовалось доказать .

4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка .

Пусть P(x) = x2л+1 , P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1 , тогда P(x) – P(-a) = x2k+1 + a2k+1 – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней .

По следствию 5

P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1= (x –(- a))Q(x)=

= (x + a)Q(x), а это значит , что

(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x) , т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка , что и требовалось доказать .
Итак ,
(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k.

5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится .

Пусть P(x) = x2k + a2k – сумма одинаковых чётных степеней
.

По теореме Безу при делении x2k + a2k на x + a = x – (- a) остаток равен

R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k.
Т. к. остаток при делении не равен 0 , то сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится, что и требовалось доказать.

Остановимся на рассмотрении некоторых случаев применения теоремы Безу к решению практических задач .

Пример 1.

Найти остаток от деления многочлена

x3 – 3x2 + 6x – 5 на двучлен x – 2 .

По теореме Безу

R = P3 (2) = 23 – 3*22 + 6*2 – 5 = 3 .
Ответ: R = 3 .

Пример 2.

Найти остаток от деления многочлена

32x4 – 64x3 + 8x2 + 36x + 4 на двучлен 2x – 1 .

Согласно следствию 1 из теоремы Безу

R=P4(1/2)=32*1/24–64*1/23 + 8*1/22+36*1/2+4=
= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .
Ответ: R = 18 .

Пример 3.

При каком значении a многочлен x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4 делится без остатка на двучлен x – 2 ?

По теореме Безу

R = P4 (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.

Но по условию R = 0 , значит

8a + 16 = 0 , отсюда a = -2 .
Ответ: a = -2 .
Пример 4.

При каких значениях a и b многочлен ax3 + bx2 – 73x + 102 делится на трёхчлен x2 – 5x + 6 без остатка ?

Разложим делитель на множители : x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) .
Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты , то данный многочлен делится на x – 2 и на x – 3 , а это значит , что по теореме Безу

R1 = P3 (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =

= 8a + 4b – 44 = 0

R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 =

= 27a +9b -117 =0

Решим систему уравнений :

8a + 4b – 44 = 0

27a + 9b – 117 = 0

2a + b = 11

3a + b = 13

Отсюда получаем : a = 2 , b = 7 .

Ответ: a = 2 , b = 7 .
Пример 5.

При каких значениях a и b многочлен x4 + ax3 – 9x2 + 11x + b делится без остатка на трёхчлен x2 – 2x + 1 ?

Представим делитель так : x2 – 2x + 1 = (x – 1)2
Данный многочлен делится на x – 1 без остатка , если по теореме Безу

R1 = P4 (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x – 1 :

_ x4 + ax3–9x2 + 11x–a –3 x – 1 x4 – x3 x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3)

_(a + 1)x3 – 9x2

(a + 1)x3 – (a + 1)x2

_(a – 8)x2 + 11x

(a – 8)x2 – (a –8)x

_(a + 3)x – a – 3

(a + 3)x – a – 3

0

Частное x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3) делится на (x –
1) без остатка , откуда

R2 = P3 (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 =

=3a – 3 = 0 .

a + b + 3 = 0

3a – 3 = 0

a + b =-3 a = 1
Из системы : a = 1 , b = -4
Ответ: a = 1 , b = -4 .

Пример 6.

Разложить на множители многочлен P(x) = x4 +
4x2 – 5 .

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена P(x) , а это значит , что по следствию 2 из теоремы
Безу P(x) делится на (x – 1) без остатка :

_x4 + 4x2 – 5 x – 1 x4 – x3 x3 + x2 + 5x + 5

_x3 + 4x2 – 5 x3 – x2

_5x2 – 5

5x2 – 5x

_5x – 5

5x – 5

0

P(x)/(x – 1) = x3 + x2 + 5x + 5 , значит

P(x) = (x – 1)(x3 + x2 + 5x + 5).

Среди делителей свободного члена многочлена x3 + x2 + 5x + 5 x = -1 является его корнем , а это значит , что по следствию 2 из теоремы Безу x3 + x2 + 5x + 5 делится на (x + 1) без остатка :

_x3 + x2 +5x + 5 x + 1 x3 + x2 x2 +5

_5x + 5

5x + 5

0

(x3 + x2 +5x + 5)/(x + 1) = x2 +5 , значит x3 + x2 +5x + 5 = (x +1)(x2 +5).
Отсюда

P(x) = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .

По следствию 7 (x2 + 5) на множители не раскладывается , т.к. действительных корней не имеет , поэтому P(x) далее на множители не раскладывается .

Ответ : x4 + 4x2 – 5 = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .

Пример 7.

Разложить на множители многочлен

P(x) = x4 + 324 .

P(x) корней не имеет , т.к. x4 не может быть равен -324 , значит
, по следствию 7 P(x) на множители не раскладывается .

Ответ : многочлен на множители не раскладывается .

Пример 8.

Какую кратность имеет корень 2 для многочлена

P(x) = x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 .

Определение: Если многочлен P(x) делится без остатка на (x – a)k , но не делится на (x – a)k+1 , то говорят , что число a является корнем кратности k для P(x).

_x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 x – 2 x5 - 2x4 x4 – 3x3 + x2 + 4

_-3x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8

-3x4 + 6x3

_x3 – 2x2 + 4x – 8 x3 – 2x2

_4x – 8

4x – 8

0

_x4 – 3x3 + x2 + 4 x – 2 x4 – 2x3 x3 – x2 – x – 2

_-x3 + x2 + 4

-x3 +2x2

_-x2 + 4

-x2 + 2x

_-2x + 4

-2x + 4

0

_ x3 – x2 – x – 2 x – 2 x3 – 2x2 x2 + x + 1

_x2 – x – 2 x2 – 2x

_x – 2 x – 2

0

x2 + x + 1 на x – 2 не делится , т.к. R=22 + 2 + 1=

=7.
Значит , P(x)/(x – 2)3 = x2 + x + 1 , т.е. корень 2 имеет кратность
3 для многочлена P(x) .

Ответ: корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x) .

Пример 9.

Составить кубический многочлен , имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2 .

По следствию 3 , если многочлен P(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2 , то он делится без остатка на (x – 4)2(x + 2) , значит

P(x)/(x – 4)2(x + 2) = Q(x) , т.е. P(x) = (x – 4)2(x + 2)Q(x) =

= (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) =

= (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) =

= (x3 – 6x2 + 32)Q(x).

(x3 – 6x2 + 32) - кубический многочлен , но по условию P(x) – также кубический многочлен, следовательно , Q(x) – некоторое действительное число .
Пусть Q(x) = 1 , тогда P(x) = x3 – 6x2 + 32 .

Ответ: x3 – 6x2 + 32 .

Пример 10.

Определите a и b так , чтобы -2 было корнем многочлена P(x) = x5 + ax2 + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два .

Если -2 – корень многочлена P(x) кратности два , то по следствию 3 P(x) делится на (x + 2)2 без остатка (R = 0)

(x + 2)2 = x2 + 4x + 4

_x5 + ax2 + bx + 1 x2 + 4x + 4 x5 + 4x4 + 4x3 x3 – 4x2 + 12x – (a + 32)

_-4x4–4x3–ax2+bx+1

-4x4 – 16x3 – 16x2

_12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1

12x3 +48x2 + 48x

_-(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1

-(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =

= (4a +b + 80)x + 4a + 129
Но R = 0 , значит

(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 при любых x .

Это возможно при условии , что

4a +b + 80 = 0 ,

4a + 129 = 0

Решим систему двух уравнений :

4a +b + 80 = 0 a = -32,25

4a + 129 = 0 b = 49

Ответ: a = -32,25 , b = 49 .

Из рассмотренных примеров видно , что теорема Безу находит применение при решении задач , связанных с делимостью многочленов
(нахождение остатка при делении многочленов , определение кратности многочленов и т.д. ) , с разложением многочленов на множители , с определением кратности корней и многих других .

Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений .