КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

Аⁿ+ Вⁿ= Сⁿ*                                   /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2·B +A^n-3·B²- …-A·B^n-2+B^n-1] /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Сⁿ = Aⁿ + Bⁿ =(A+B)ⁿ∙ Dⁿ , /3/

где множитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

 /4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cⁿ= Aⁿ+ Bⁿ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)ⁿ. Однако известно, что:

Aⁿ+ Bⁿ < (A+B)ⁿ /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

Сⁿ = Аⁿ + Вⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2·B +A^n-3·B²- …-A·B^n-2+B^n-1]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2.   Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

Aⁿ= Cⁿ- Bⁿ/7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

Aⁿ = Cⁿ - Bⁿ = (С+B)∙(C^n-1 + C^n-2 · B+ C^n-3∙ B² +…+ C ∙ B^n-2 + B^n-1 ). /8/

Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа A.

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Аⁿ = Сⁿ- Bⁿ=(С+B)ⁿ∙ Dⁿ , /9/

где множитель Dⁿ должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

 /10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [Аⁿ= Сⁿ- Bⁿ] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+B)ⁿ. Однако известно, что:

Сⁿ- Bⁿ < (С+B)ⁿ /11/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /12/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (Cⁿ- Bⁿ) раскладывается на алгебраические множители:

C² – B² = (C-B) ∙ (C+B); /13/

C⁴ – B⁴ = (C-B) ∙ (C+B) (C² + B²); /14/

C⁶ – B⁶ = (C-B) ∙ (C+B) · (C² –CB + B²) ∙ (C² +CB+ B²); /15/

C⁸ – B⁸ = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C² + B²) ∙ (C⁴ + B⁴). /16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C² – B² = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 2⁴ · 3 · 23;

C⁴ – B⁴ = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 2⁴ · 3 · 23 · 673;

C⁶ – B⁶ = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31²) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31² ∙ 577;

C⁸ – B⁸ = (2² ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 2⁵ ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C² – B² = (3²) ∙ (41) = 3² ∙ 41;

C⁴ – B⁴ = (3²) ∙ (41) · (881) =3² ∙ 41 · 881;

C⁶ – B⁶ = (3²) ∙ (41) ∙ (2² ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 3³ · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;

C⁸ – B⁸ = (3²) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 3² ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

- при заданном показателе степени n, если он четное число, число Аⁿ = Сⁿ- Bⁿраскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

- при любом показателе степени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cⁿ- Bⁿ) всегда имеются множители (C-B) и (C+B);

- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.