Устанавливается изоморфизм  отображений Хопфа-Коула (Hopf E, Cole J. D.) [ 1, 2  3 ]  и отображений геометрических структур дифференциальных уравнений, что позволяет определить сферы действия геометрического исчисления с соответствующей метрикой. Эта сфера действия соответствующих метрик определяется линейными и нелинейными связями.

    Имеется проблема.

    В настоящее время геометрии искривленных пространств позволяют извлекать  физическую информацию в основном о системах космических и галактических масштабов: релятивистская теория гравитации (ОТО) и новая релятивистская теория гравитации (РТГ), в которых определяется «метрический тензор риманового пространства».

   Но геометрия – раздел математики. Геометрическое исчисление имеет силу во всех разделах физики. Примером может служить интегральное исчисление, которое  широко используется во всех разделах физики.

   С помощью метрического тензора опускают и поднимают индексы у тензоров, находят их абсолютные переносы, определяют ковариантные производные и  связности… Итак, посредством определенных в ОТО и РТГ метрических тензоров дважды поднимаются индексы, например, у тензора диэлектрической проницаемости в электродинамике, определяется перенос составляющих вектора электрической напряженности. Каков физический смысл этих действий? Ведь метрические тензоры в ОТО и РТГ – это гравитационные потенциалы!

    В материальном мире реализуются многомерные пространства. С каждой физической системой и с каждым процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомерных расслоенных пространств возможно во всех разделах физики. И не просто возможно, а геометрии расслоенных пространств составляют основу теорий всех разделов физики.

    Геометрические действия с соответствующей метрикой возможно только в рамках соответствующей связи. При переходе к другой связи посредством соответствующих отображений происходит переход и к другой метрике посредством этих же отображений. Введение тензоров (скаляров, спиноров, векторов, тензоров более высокого ранга) производится только относительно соответствующих преобразований обобщенных координат. В физике вводятся многомерные  пространства внутренних степеней свободы. Примером пространства внутренних степеней свободы в физике может служить изотопическое пространство, векторы в котором вводятся на основе преобразований координат изотопического пространства. В пространстве внутренних степеней свободы вводятся обобщенные  базовые и слоевые координаты.

    В качестве демонстрации данных утверждений и рассматривается сформулированная здесь задача.

    Отображение Хопфа-Коула связывает два дифференциальных уравнения и их решения [ 1, 2, 3 ]: нелинейное уравнение Бюргерса  [ 4 ] и уравнение теплопроводности (диффузии). Эти уравнения отображают соответствующие связи. Этих уравнений мы рассматриваем частные случаи (демонстрируется сам принцип)  и  обобщаем их на слоевые пространства.

   Нелинейное уравнение  (3) (см. Табл.)  получено  из уравнения типа уравнения Бюргерса в классе решений

       т.е.                                    (1)

с использованием отображения (2) [ 5 ]:

Отображение геометрических структур                                                                                        Таблица

Дифференциальное уравнение типа уравнения теплопроводности          (3)             -постоянные.         - длина  вектора      в пространстве  -  постоянная интегрирования.           (5)                         (8)                                                                 (10)     (12)                (5’)

Дифференциальные уравнения, связанные отображением Хопфа-Коула           (2)  - постоянные.     слоевые пространства     слоевые координаты метрические функции    решение дифференциальных уравнений       дифференциальные уравнения для метрической функции  решения дифференциальных уравнений для метрических функций      отображение Хопфа-Коула дляметрических функций     (7)           ковариантные слоевые координаты   составляющие  метрического тензора       - однородные степени нуль в слоевых координатах. коэффициенты  связностей    - однородные степени – 1 в слоевых координатах . длина векторов          условие Эйлера       выполнение свойства    (14)             дважды ковариантные составляющие метрического тензора

Уравнение, следующее из нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Бюргерса  (4)        - постоянные                                   - длина вектора в  пространстве   где    - постоянная интегрирования  и                       (6)                 (9)     (9)                                                                                                                                                                     (11) (13)                (6’) )

     Из Таблицы следует, что структура составляющих контравариантных векторов, метрического тензора, связностей сохраняется. Изменяется их конкретное содержание. Отображения Хопфа-Коула меняют длину слоевых координат . Поскольку выполняется условие Эйлера и сохраняется свойство (14),то коэффициенты связностей найдены правильно. Итак, 1)если связь задана дифференциальным уравнением вида (3), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (10) и метрикой (5), 2)если же связь задана нелинейным дифференциальным уравнением вида (4), тогда  следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (11) и метрикой (6), которые могут быть получены отображением Хопфа-Коула (2).