1. Дополнительное построение

Продли медиану
Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

Задача. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1). Пусть отрезок BM – его медиана и биссектриса. Продлим BM на отрезок MD = BM. Образовались равные треугольники AMB и MCD (1-й признак равенства треугольников).
Из равенства этих треугольников имеем:
(1) AB = CD и (2) ? 1 = ? 3.
Используя равенство (2) и то, что ? 1 = ? 2 (по условию), получим, что треугольник BCD равнобедренный, а, следовательно, BC = CD. Используя полученный вывод и равенство (1) доказываем, что AB = BC, откуда следует истинность утверждения задачи.

2. Принцип непрерывности

Характеристика метода. Пусть величина k (угол, длина, площадь) зависит от положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном положении X на отрезке k < 0, а при другом положении X на отрезке k > 0, то найдется такое положение X на этом отрезке, при котором k = 0.
Задача. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AA1. Есть ли такая точка X на AA1, из которой отрезок BC виден под прямым углом.
Решение. Будем искать такое положение точки X, при котором ? BXC = 90°.
Начнем мысленно перемещать точку X по отрезку AA1 от A к A1. Обозначим величину угла BXC за ?. Когда точка X находится достаточно близко от точки
A (рис. 2), тогда ? мало отличается от 60°, а поэтому ?< 90°. Когда точка X находится достаточно близко от (рис. 3), тогда ?. мало отличается от 180°, а поэтому ?> 90°. Значит при каком-то положении точки X на AA1 ?.
= 90°.

3. Метод доказательства «от противного»
Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида A ?B (A – условие, B – заключение). Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

1) Предполагаем, что заключение B не выполняется.

2) Путем логических рассуждений приходим к тому, что условие A не выполняется, т. е. получаем противоречие с условием.

3) Дальнейший анализ показывает, что причина полученного противоречия кроется в первоначальном предположении.

4) Делаем вывод, что это предположение неверно и, следовательно, заключение B выполняется (что и требовалось доказать).
Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?
Решение. Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть
(например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n- угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее.

1) Пусть найдется выпуклый многоугольник с большим числом углов, например, с четырьмя.

2) В этом случае сумма четырех острых углов будет меньше, чем 90°•4 или

180°•2. Сумма же остальных n – 4 углов будет меньше, чем 180°•(n – 4).

Тогда сумма всех углов n-угольника меньше, чем 180°•2 + 180°•(n – 4) =

180°•(n – 2), а это невозможно для выпуклого n-угольника (сумма его углов равна 180°•(n – 2)).

3) Полученное противоречие кроется в исходном предположении.

4) Наше предположение относительно существования четырех (а как показывает анализ рассуждений и большего количества) острых углов неверно. Следовательно, максимальное количество острых углов выпуклого n- угольника – три.
Доказательство выдвинутой гипотезы завершает решение задачи.

4. Метод доказательства «от противного» – 2
Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида

A ? B (*)
(A – условие, B – заключение). Идея доказательства опирается на равносильность теоремы (*) и теоремы противоположной для обратной к данной, т. е. теоремы

B ? ? (**)
Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

1) Составляем теорему вида (**).

2) Доказываем составленную теорему.

3) Основываясь на описанной выше равносильности делаем вывод, что теорема

(утверждение) (*) верна.
Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?
Решение. Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть
(например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n- угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее.

1) Составим теорему, противоположную для обратной к данной: если в многоугольнике максимальное число острых углов больше трех, то он не выпуклый.

2) Доказательство: если в многоугольнике острых углов больше трех, то количество тупых углов, смежных к ним (и взятых по одному при вершине) будет так же больше трех. В этом случае сумма всех смежных углов, взятых по одному при вершине, для данного многоугольника будет больше 360°.

Известно, что у выпуклого многоугольника данная сумма равна 360°, поэтому данный многоугольник – не выпуклый.

3) Доказав утверждение, сформулированное в пункте 1), мы тем самым доказали и нашу гипотезу.

5. Метод доказательства через контрпример
Характеристика метода. Данный метод применяется в ситуации, когда надо показать ложность утверждения вида

A ? B. (*)
В этом случае создается (строится) объект (фигура, формула), который обладает свойствами, входящими в условие A, но не обладает свойствами, присутствующими в заключении B. Существование такого объекта показывает ложность утверждения (*).

Конечно, редко встречаются задачи, где явно требуется доказать ложность некоторого утверждения, но иногда, например после выдвижения гипотезы, легче попытаться опровергнуть ее через контрпример, а потом, в случае неудачи, начать доказывать, чем сразу приступать к доказательству.
Задача. Справедливо ли утверждение: если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то это ромб?
Решение. Построим контрпример. На рис. 4 изображен четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны, но который не является ромбом.
Существование такого объекта доказывает ложность исходного утверждения.

6. Метод вспомогательных фигур

Bспомогательный треугольник
Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного построения
(продление отрезка, геометрическое преобразование и др.) получают треугольник, который дает возможность получить решение задачи. Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения задачи свойствами:
1) его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в условии задачи;

2) для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить решение, чем для фигур непосредственно заданных условием.

Задача. Доказать, что средние линии треугольника параллельны его сторонам и вдвое меньше их.
Решение. Пусть точки K, L, M – середины сторон AB, BC, CA треугольника ABC соответственно (рис. 5). Продолжим отрезок KL за точку L на отрезок NL = KL и получим вспомогательный треугольник NLC. Тогда D KBL = D NLC (по двум сторонам и углу между ними). Поэтому BK = CN и ?B = ?4. Следовательно, AK =
CN (так как AK = KB и KB = CN) и AK || CN (так как ? B = ?4). Поскольку AK
= CN и AK || CN, то KN = AC и KN || AC. Поэтому ?3 = ?A, ?1 = ?C и KL =
0,5AC. Значит, углы треугольника KBL равны углам треугольника ABC, а стороны его вдвое меньше сторон треугольника ABC. Это же верно и для треугольников AKM, MCL, KML, так как они равны треугольнику KBL.
P.S. Кроме описанного метода, при решении данной задачи используется известное дополнительное построение – продление отрезка на отрезок, равный самому себе.

7. Метод введения вспомогательного элемента

Вспомогательный отрезок
Характеристика метода. Длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, x и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи
«исчезает» (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение.

Задача. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны и равны d1 и d2.
Решение. Заметим, что диагонали разбивают четырехугольник на треугольники.
Удобно представить его площадь в виде суммы площадей треугольников ABC и
ACD (рис. 6). При этом площадь каждого из указанных треугольников будем вычислять по известной формуле

S=1/2Ah причем в качестве основания каждого треугольника выберем диагональ d1. В этом случае высоты треугольников будут давать в сумме диагональ d2, а в отдельности будут неизвестны.
Для использования в решении формулы (*) введем вспомогательный отрезок – высоту OD треугольника ACD, длину которого обозначим за x. Тогда длина высоты OB треугольника ABC будет равна (d2 – x). Вычислим теперь площадь четырехугольника ABCD:

S=1/2d1x + 1/2d1(d2-x)=1/2d1d2

В результате получили правило: площадь выпуклого четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна их полупроизведению.

8. Метод площадей
Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры
(треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.
Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом.
Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых
(или обе) содержит в себе искомые элементы.
Задача. Найти формулу для площади произвольного треугольника.
Решение. Пуст S – площадь треугольника ABC (рис. 7). Проведем высоту BD и получим прямоугольные треугольники ABD и CBD. Очевидно, что S = SABD +
SBCD. Воспользуемся теперь известным правилом нахождения площади прямоугольного треугольника и получим:

Заметим, что данное решение было проведено для остроугольного треугольника.
В случае же тупоугольного треугольника результат не изменится, отличие будет лишь в исходном соотношении для площади S = SABD – SBCD.
Таким образом, сформулируем правило: площадь произвольного треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне.

9. Аналитико – синтетический метод.

Анализ – логический приём, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически) разбивается на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.

Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в единое целое (другими словами обратный анализу).

Не следует отделять эти методы друг от друга, так как они составляют единый аналитико-синтетический метод. Так при решении сложной задачи она с помощью анализа разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.

Пример: (использование анализа при решении иррациональных уравнений)