Введение.

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока.
Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо
Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство

[pic].

Лежащее в основе арифметики понятие следовать за тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией.
Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.

1. Суть метода математической индукции.

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение А(n) истинно для n=1.

2. Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

2. Метод математической индукции в решении задач на делимость.

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.

Пример 1. Если n – натуральное число, то число [pic] четное.

[pic]При n=1 наше утверждение истинно: [pic]- четное число.
Предположим, что [pic] - четное число. Так как [pic], a 2k – четное число, то и [pic]четное. Итак, четность [pic] доказана при n=1, из четности [pic] выведена четность [pic].Значит, [pic] четно при всех натуральных значениях n.

Пример 2. Доказать истинность предложения

A(n)={число 5[pic] кратно 19}, n – натуральное число.

Решение.

Высказывание А(1)={число [pic]кратно 19} истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k)={число [pic] кратно 19} истинно. Тогда, так как

[pic], очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n. [pic]

3. Применение метода математической индукции к суммированию рядов.

Пример 1. Доказать формулу

[pic], n – натуральное число.

Решение.

При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

Предположим, что формула верна при n=k, т.е.

[pic].

Прибавим к обеим частям этого равенства [pic] и преобразуем правую часть. Тогда получим

[pic]

Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.

Пример 2. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна
[pic].

Решение.

Обозначим искомую сумму [pic], т.е. [pic].

При n=1 гипотеза верна.

Пусть [pic]. Покажем, что [pic].

В самом деле,

[pic].
Задача решена.

Пример 3. Доказать, что сумма квадратов n первых чисел натурального ряда равна [pic].

Решение.

Пусть [pic].

[pic].

Предположим, что [pic]. Тогда

[pic] и окончательно [pic].

Пример 4. Доказать, что [pic].

Решение.

[pic].

Если [pic], то

[pic].

Пример 5. Доказать, что

[pic].

Решение.

При n=1 гипотеза очевидно верна.

Пусть [pic][pic].

Докажем, что [pic].

Действительно,
[pic]

4. Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.

Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n>1

[pic].

Решение.

Обозначим левую часть неравенства через [pic].

[pic], следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

Пусть [pic] при некотором k. Докажем, что тогда и [pic]. Имеем [pic],
[pic].

Сравнивая [pic] и [pic], имеем [pic], т.е. [pic].

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна.
Поэтому [pic]. Но [pic], значит, и [pic].

Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.

Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство [pic].

Доказательство.

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

[pic].

(1)
Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

[pic].

Действительно, [pic] не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) [pic], а к правой 2. Получим справедливое неравенство [pic], или [pic]. Утверждение доказано.

Пример 3. Доказать, что [pic], где [pic]>-1, [pic], n – натуральное число, большее 1.

Решение.

При n=2 неравенство справедливо, так как [pic].

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

[pic]. (1)
Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

[pic]. (2)
Действительно, по условию, [pic], поэтому справедливо неравенство

[pic], (3) полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на [pic].
Перепишем неравенство (3) так: [pic]. Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое [pic], получим справедливое неравенство
(2).

Пример 4. Доказать, что

[pic] (1) где [pic], [pic], n – натуральное число, большее 1.

Решение.

При n=2 неравенство (1) принимает вид

[pic]. (2)
Так как [pic], то справедливо неравенство

[pic] . (3)
Прибавив к каждой части неравенства (3) по [pic], получим неравенство (2).

Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.

Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.

[pic]. (4)

Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е.

[pic] (5)

Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, [pic], то получаем следующее справедливое неравенство:

[pic]. (6)

Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что

[pic], (7) или, что то же самое,

[pic]. (8)
Неравенство (8) равносильно неравенству

[pic]. (9)

Если [pic], то [pic], и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если [pic], то [pic], и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.

Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.

5. Метод математической индукции в применение к другим задачам.

Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре,
- это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить сторону [pic] правильного [pic]- угольника, вписанного в круг радиуса R.

Решение.

При n=2 правильный 2n – угольник есть квадрат; его сторона [pic].
Далее, согласно формуле удвоения

[pic] находим, что сторона правильного восьмиугольника [pic], сторона правильного шестнадцатиугольника [pic], сторона правильного тридцатидвухугольника
[pic]. Можно предположить поэтому, что сторона правильного вписанного 2n – угольника при любом [pic] равна

[pic]. (1)

Допустим, что сторона правильного вписанного [pic]- угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения

[pic], откуда следует, что формула (1) справедлива при всех n.

Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?

Решение.

Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум.