Тригонометрические функции

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников ((((((((( - треугольник, а ((((((- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.).
Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-
Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед
(1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. ((((( - угол,
((((((- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии.

Тригонометрические функции острого угла

В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол (, отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1 (рис.1), имеющих равные углы (А=(А1 =(. Из подобия этих треугольников имеем:

Если величину угла ( измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

лишь числовое значение отношений и т.д. Поэтому отношения

можно рассматривать как функции угла (.

Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

sin(=

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом ( и измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sin(.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов (=30(; 45(; 60( рассмотрим прямоугольный треугольник с углом (=30(; и катетом ВС=a=1, тогда гипотенуза этого треугольника с=2, а второй катет b=(3; рассмотрим также треугольник с углом (=45( и катетом a=1, тогда для этого треугольника c=(2 и b=1.

Полученные результаты запишем в таблицу.
| |30( |45( |60( |
|sin( | | | |
| | | | |

Рис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0( до
90( можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2(.

90( N

0,79

а

А b С 0,62 0( M Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=(, то по определению тригонометрических функций мы имеем:

sin(=а

Для угла 52( на шкале радиуса АN находим, что а=0,79, а на шкале радиуса АМ находим, что b=0,62., то есть sin52(=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов (=2(, 4(, 6(, 8(,…, 88(, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0( и 90( прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ, то угол ((0, а катеты а(0 и b(1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что sin0(=а=0; cos0(=b=1.

Что касается значений tg( и ctg(, то при ((0 отношение (0, т.е.

, а отношение при ((0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ((, где символ ( указывает, что величина неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ( не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg0(=0, а ctg0( не существует, что чаще записывают как ctg0(=(.

Рассуждая аналогично при ((90( приходим к целесообразности принять что sin90(=1; cos90(=0, tg90( не существует (tg90((() и ctg90(=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0( до 90( с шагом 2(, которую можно получить указанным выше способом. градусы |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |18 |20 |22 | |sin |0,00 |0,03 |0,07
|0,10 |0,14 |0,17 |0,21 |0,24 |0,28 |0,31 |0,34 |0,37 | |градусы |24 |26
|28 |30 |32 |34 |36 |38 |40 |42 |44 |46 | |sin |0,41 |0,44 |0,47 |0,50
|0,53 |0,56 |0,59 |0,62 |0,64 |0,67 |0,69 |0,72 | |градусы |48 |50 |52 |54
|56 |68 |60 |62 |64 |66 |68 |70 | |sin |0,74 |0,77 |0,79 |0,81 |0,83 |0,93
|0,87 |0,88 |0,90 |0,91 |0,93 |0,94 | |градусы |72 |74 |76 |78 |80 |82 |84
|86 |88 |90 | | | |sin |0,95 |0,96 |0,97 |0,98 |0,98 |0,99 |0,99 |1,00
|1,00 |1,00 | | | |Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построим график. y

1

0 30( 60( 90( x

Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора a2+b2=c2 или

По определению тогда

(1)

Легко также найти следующие зависимости

(2)

(3)

(4)

(5)

Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например:

(6)

(7)

(8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор образующий с положительным направлением оси 0x угол (. Будем считать, что ось 0x – начальная сторона, а вектор - конечная сторона угла (.
Проекция вектора на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.

Можно показать, что отношения где а – длина вектора , зависят только от

величины угла ( и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла (.

Синусом угла (,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором

, называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:

y

A

x

Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0x и конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360((n+(, где n=0; (1; (2; (3; (4; … и sin((+360(( n)=sin(

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти ax>0; ay>0;

Во II четверти ax0;

В III четверти ax