Интеграл Пуассона.

Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические, комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку

[pic] f(g(x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic]

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на (-(,(( и cn ( f(g ) = cn ( f )( cn ( g ) , n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 )

где ( cn ( f )( -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) : cn = [pic]-i n tdt , n = 0, ((((((((

Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию

(r ( x ) = [pic]n ( f ) r((n ( ei n x , x ((((((((((( , ( 2 ) где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны cn ( fr ) = cn ( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это согласно (1) значит, что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]

(r ( x ) = [pic] ,

( 3 ) где

[pic] , t (
((((((((((( ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
[pic][pic][pic][pic][pic]
Следовательно,

Pr ( t ) = [pic] , 0(((r ( ( , t (((((((((( .

( 5 )
Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = (cn( f ) , n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) = [pic]

=[pic] ,

( 6 ) где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 [pic] ( z = reix ) ( 7 )
- аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x (
[ -(, ( ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = [pic] .

( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z (((((((((
( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда u (z) = [pic] ( z = reix , ( z ( ( ( )

( 10 ).

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

[pic] =[pic], ( z ( (
(+ ( .
Но тогда

[pic] и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) [pic] ; б) [pic] ; в) для любого (>0

[pic]
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.[pic]
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic]

[pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

[pic] ( 12 )
Для любой функции [pic] , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
[pic]
[pic][pic]
[pic].
Следовательно,

[pic][pic].
Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что [pic]. Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
[pic][pic][pic].
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

[pic][pic].

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция [pic] суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 .
Максимальной функцией для функции [pic] называется функция

[pic] где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор [pic] называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y
> 0
[pic] .

Теорема 2 (Фату).
Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].

Доказательство.
Покажем, что для [pic] и [pic]

[pic] ,

( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f
(x) [1]. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

[pic]
(К - абсолютная константа).
Пусть [pic]- такое число, что

[pic].
Тогда для [pic]
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic][pic]
[pic].

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора
[pic], найдем такую последовательность функций [pic] ,что

[pic],

[pic] ( 14 )

[pic] для п.в. [pic].

Согласно (13) при x( (-2(((()
[pic]
[pic]
Учитывая , что по теореме 1 [pic] для каждого x( [-(( (] и (14)
Из последней оценки получим

[pic] при n((.

Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] [pic], когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности [pic] пути.

-----------------------
[1] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок ((2((2(( (т.е. [pic]

f (x) = f (y) , если x,y ( [-2(,2(] и x-y=2() и f (x) = 0 , если
(x( ( (( .