1. Введение
Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной.
Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках.
Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.
Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для функций, заданных на любых пространствах с мерой, в то время как интеграл
Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных.
Для функций же на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла.
Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная
(-аддитивная мера (, определенная на (-алгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А ( Х будут предполагаться измеримыми, а функции f(x) - определенными для x( Х и измеримыми.
1.1. Простые функции.
Определение 1. Функция f(x), определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.
Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.
Теорема 1. Функция f(x), принимающая не более чем счетное число различных значений y1, y2, … , yn, … , измерима в том и только том случае, если все множества

An={x : ((x)=yn} измеримы.
Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое An есть прообраз одноточечного множества {yn}, а всякое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f-1(B) любого борелевского множества есть объединение [pic]не более чем счетного числа измеримых множеств An, т. е. измерим.
Использование простых функций в построении интеграла Лебега будет основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.
Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию f(x) и положим fn(х)=m/п, если т/п[pic]f(x)((m+1)/n
(здесь т - целые, а п - целые положительные). Ясно, что функции fn(x) простые; при п([pic] они равномерно сходятся к f(x), так как (f(x)- fn(x)((1/n.

1.2.Интеграл Лебега для простых функций.

Мы введем понятие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.
Пусть f—некоторая простая функция, принимающая значения y1, y2, … , yn, … ; yi[pic]yj при i[pic]j, и пусть А — некоторое измеримое подмножество X.
Естественно определить интеграл от функции f по множеству А равенством
[pic]=[pic], где An={x: x[pic]A, f(x)=yn},

(1) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему определению (в котором по понятным причинам заранее постулируется абсолютная сходимость ряда).

Определение 2. Простая функция f называется интегрируемой или суммируемой
(по мере () на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству А.

В этом определении предполагается, что все уn различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида ck((Bk) и не предполагая, что все ck различны. Это позволяет сделать следующая лемма.

Лемма. Пусть А=[pic], Bi[pic]Bj=( при i[pic]j и пусть на каждом множестве Bk функция f принимает только одно значение ck; тогда
[pic]=[pic],

(2) причем функция f интегрируема на А в том и только том случае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство. Легко видеть, что каждое множество
Аn={х: х(А, f(x)=yn} является объединением тех Bk, для которых сk=yn. Поэтому
[pic]=[pic][pic]=[pic].
Так как мера неотрицательна, то
[pic]=[pic]=[pic], т. е. ряды [pic] и [pic] абсолютно сходятся или расходятся одновременно.
Лемма доказана.

Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций
A) [pic]=[pic]+[pic], причем из существования интегралов в правой части равенства следует существование интеграла в левой.

Для доказательства предположим, что f принимает значения fi на множествах
Fi ( A, a g — значения gj на множествах Gj ( A, так что
J1=[pic]=[pic],

(3)
J2=[pic]=[pic].

(4)
Тогда в силу леммы
J=[pic]=[pic];
(5) так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом
J=J1+J2.
Б) Для любого постоянного k
[pic]=k[pic],

причем из существования интеграла в правой части следует существование интеграла в левой части. (Проверяется непосредственно.)
В) Ограниченная на множестве А простая функция f интегрируема на А, причем, если (f(x)(( M на A, то
([pic](( M((A).
(Проверяется непосредственно.)

2. Определение интеграла Лебега
Классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассматривается конечная функция f(x), заданная на сегменте [a, b]; этот сегмент разбивается на части точками x0 = a ( x1 ( x2 ( ( ( xn = b в каждой части [xk, xk+1] выбирается точка (k и составляется риманова сумма
( = [pic].
Если сумма ( при стремлении к нулю числа
( = max(xk+1 – xk). стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [a, b], ни от выбора точек (k, то этот предел I называется интегралом Римана функции f(x) и обозначается символом
[pic].
Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут
(R)[pic].
Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми (R). Для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо, чтобы она была ограниченной.
Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегрируема (R).
Существуют также и разрывные функции, интегрируемые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.
Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Дирихле [pic], которая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

1, если x рационально,
((x) =

0, если x иррационально.

Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма ( обращается в 0, если все точки ([pic] иррациональны и ( = 1, если все [pic] рациональны.
Таким образом, риманово определение интеграла страдает существенными недостатками - даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми.
Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.
Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана (, мы дробим сегмент [a, b] на мелкие части [x0, x1], [x1, x2], ( ,[xn-1, xn] (назовем их через e0, e1, ( , en-1), в каждой части ek берем точку (k и, составив сумму
( = [pic], требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек (k в множествах еk. Иначе говоря, каждая точка х из множества еk может быть взята за (k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы (. А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки (k мало изменяет величину f((k). Но что же объединяет между собой различные точки х множества ek? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо еk есть малый сегмент [xk, xk+1].
Если функция f(x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что изменение точки (k в пределах множества ek мало влияет на величину суммы (, но для функция разрывной это вовсе не так.
Иначе можно сказать, что множества ek составлены так, что только для непрерывных функций значение f((k) можно считать нормальным представителем других значений функции на ek.
Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости (R) необходимо, чтобы рассматриваемая функция не была «слишком разрывной».
Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в множества ek не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент [a, b], расположенный на оси абсцисс, а сегмент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f(x):
A = yo ( y1 ( ( ( yn = B

Если составить множества ek так: ek = E(yk ( f ( yk+1), то ясно, что различный точкам х ( еk и в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим представителем значений функции на множестве ek может служить, например, yk, так что естественно положить в основу понятия интеграла сумму
[pic].

Перейдем теперь к точному изложению вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f(x), причем
A N окажется
2K( mAn(() ( [pic].

Для этих n неравенство (4) примет вид
[pic] ( (, что и доказывает теорему.

Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство
[pic] ( K выполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним.

Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходимости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда fn(x) ( F(x) почти везде (и тем более везде).

5. Сравнение интегралов Римана и Лебега

Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х).
Пусть x0 ( [a, b] и ( > 0. Обозначим через m((x0) и М((х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f(x) на интервале (х0 - (, x0 + () m((x0) = inf{f(x)}, M((x0) = sup{f(x)} (х0 - ( ( x ( x0 + ().

(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала
(х0 - (, x0 + (), которые лежат также и на сегменте [а, b].)

Очевидно, m((x0) ( f(x0) ( M((x0).

Если ( уменьшается, то m((x0) не убывает, a M((x0) не возрастает.
Поэтому существуют определенные пределы m(x0) = [pic]m((x0), M((x0) = [pic]M((x0), причем, очевидно, m((x0) ( m(x0) ( f(x0) ( M(x0) ( M((x0).

Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).

Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было m(x0) = M(x0).

(*)

Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное ( > 0, найдем такое ( > 0, что как только
[pic] ( (, так сейчас же
[pic] ( (.

Иначе говоря, для всех х ( (х0 - (, x0 + () будет f(x0) - ( ( f(x) ( f(x0) + (.

Но отсюда следует, что f(x0) - ( ( m((x0) ( M((x0) ( f(x0) + (, а стало быть, и тем более f(x0) - ( ( m(x0) ( M(x0) ( f(x0) + (, откуда, ввиду произвольности (, и вытекает (*). Итак, необходимость условия
(*) доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно, m(x0) = M(x0) = f(x0) и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно.

Возьмем произвольное ( > 0 и найдем столь малое ( > 0, что m(x0) - ( ( m((x0) ( m(x0), M(x0) ( M((x0) ( M(x0) + (.

Эти неравенства означают, что f(x0) - ( ( m((x0), M((x0) ( f(x0) + (.

Если теперь x ( (х0 - (, x0 + (), то f(x) лежит между m((x0) и M((x0), так что f(x0) - ( ( f(x) ( f(x0) + (.

Иначе говоря, из того, что [pic] ( ( вытекает, что
[pic] ( (, т. е. функция f(x) непрерывна в точке х0.

Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b] a = [pic] ( [pic] ( ( ( [pic] = b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = [pic] ( [pic] ( ( ( [pic] = b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . причем при i ( (
(i = max[[pic]-[pic]] ( 0.

Пусть [pic] есть точная нижняя граница значений функции f(x) на сегменте
[[pic], [pic]]. Введем функцию (i(x), полагая
(i(x) = [pic] при x ( ([pic], [pic])
(i(x) = 0 при x = [pic], [pic], ( , [pic].

Если х0 не совпадает ни с одной точкой [pic] (I = 1, 2, 3, ( ; k = 0, 1,
2, ( , ni), то
[pic](i(x0) = m(x0).

Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем через [[pic], [pic]] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то
[pic] ( x0 ( [pic] и, следовательно, при достаточно малых ( > 0 будет
(х0 - (, x0 + () ( [[pic], [pic]], откуда следует, что
[pic] ( m((x0) или, что то же самое, что
(i(x0) ( m((x0).

Устремив ( к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i
(i(x0) ( m(x0).

Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = ( (. Пусть т(х0) ( ( ( и пусть h ( m(x0).

Тогда найдется такое ( > 0, что m((x0) ( h.

Фиксировав это (, найдем столь большое i0, что при i ( i0 будет
[[pic], [pic]] ( (х0 - (, x0 + (), где, как и выше, [[pic], [pic]] есть сегмент, содержащий точку х0.
Существование такого i0 следует из условия (i ( 0.

Для таких i будет
[pic] ( m((x0) ( h, или, что то же самое,
(i(x0) ( h.

Итак, для всякого h ( m(x0) найдется такое i0, что при i ( i0 h ( (i(x0) ( m(x0), а это и значит, что (i(x0) ( m(x0). Лемма доказана.

Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.

В самом деле, множество точек деления {[pic]} счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что (i(x) ( m(x) почти везде.

Но (i(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично.

Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x) ограничена, то
(L) [pic]( (L) [pic].

Действительно, если[pic] ( K, то, очевидно,
[pic] ( K, [pic] ( K, откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что
(L) [pic] = [pic] = [pic] = si, где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ( ( si ( (L) [pic].

Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра
Si ( (L) [pic].

Но в таком случае
Si - si ( (L) [pic].

С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было Si – si ( 0.

Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было
(L) [pic] = 0.

(1)

Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из
(1) следует, что т(х) ~ М(х).

(2)

Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равносильна соотношению (2).

Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.

Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.

Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.

Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет т(х) = М(х).
Но ведь т(х) ( f(x) ( М(х).

Значит, почти везде f(x) = m(x), и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.

Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что
(L) [pic] = (L) [pic].

Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет si ( (R)[pic], где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления.
Сопоставляя это с тем, что, как показано нами, si ( (L) [pic], мы видим, что
(R)[pic] = (L) [pic].
Таким образом, имеет место

Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и
(L), и оба ее интеграла равны между собой.

В заключение отметим, что функция Дирихле ((x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.

6. Примеры
1) Вычислить интеграл Лебега от функции [pic] на интервале (1; 2).
Строим срезку

N, f(x) ( N, fN(x) = f(x), f(x) ( N.

[pic] = N, x = 1 + [pic].

[pic][pic] = [pic],
[pic]= [pic] + [pic] = Nx[pic] + [pic][pic] = N[pic] - N + [pic] -
- [pic][pic] = [pic] + [pic] - [pic][pic] = - [pic] [pic] + [pic],
[pic][pic] = [pic][pic] = [pic],
(L)[pic] = [pic].
2) Суммируемы ли функции [pic] и [pic] на интервале (0; 1). f(x) = [pic].
Строим срезку

[pic] = N, x = [pic].

[pic] = [pic] + [pic] = [pic] + [pic] = 1 - [pic] = 1 + [pic],
[pic] = [pic][pic] = [pic](1 + [pic]) = +(, значит функция f(x) = [pic] суммируемой не является. f(x) = [pic].
Строим срезку

[pic] = N, x = [pic].

[pic] = [pic] + [pic] = [pic] - [pic] = [pic] - (1 - [pic]) = [pic] - 1 +
[pic] =
= 2[pic] - 1,
[pic] = [pic][pic] = [pic](2[pic] - 1) = +(, значит функция f(x) = [pic] суммируемой не является.
3) Суммируема ли функция f(x) = [pic]на отрезке [-1; 1], где f(0) = 0.

[pic] , x ( 0 0 , x ( 0
[pic] = [pic] =

0 , x ( 0 [pic] , x ( 0
[pic] = [pic] - [pic].

Строим срезку

N = [pic], x = [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] =
= [pic][pic] = [pic][pic] = +(.
Строим срезку

N = [pic], x = [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] =
= [pic][pic] = [pic][pic] = +(, значит функция f(x) = [pic] не является суммируемой на [-1 ;1].
4) Суммируема ли функция f(x) = [pic] на [1; 3], где f(2) = 1.

[pic], x ( 2 0, x ( 2

[pic] = 0, x ( 2 [pic] =

1, x = 2 [pic], x ( 2
Строим срезку

[pic] = N, x = 2 + [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] =
= [pic][pic] = [pic][pic] =
= [pic][pic] =[pic][pic] = [pic].
Строим срезку

[pic] = N, x = 2 - [pic].

(L)[pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic][pic] = [pic] функция f(x) суммируема на [1; 3].