Абсолютно непрерывные функции. Связь между абсолютно непрерывными функциями и интегралом Лебега (КФЭ 394). Абсолютно непрерывной называется такая функция ¦, заданная на отрезке [a,b], что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) с суммой длин меньшей d, сумма модулей разностей значений функции ¦ в концах интервалов меньше чем e. Утв. Всякая абсолютно непрерывная ф-я имеет ограниченное изменение. Теорема. Функция , представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой ф-и, абсолютно непрерывна. Метрическое пр-во. Определение и примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах в метрическом пр-ве. Полугруппой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция. Группой наз. множество объектов, если для его элементов определена замкнутая ассоциативная бинарная операция и существует единица. Кольцо - множество объектов с двумя бинарными операциями, являющееся группой по одной из операций, и полугруппой по второй операции, причем для элементов кольца справедлив закон ассоциативности и дистрибутивности. Поле – кольцо с единицей, содержащее элементы отличные от нуля, для каждого из которых определен обратный элемент по “умножению” (являющееся группой по умножению). Линейным векторным пр-вом над кольцом наз. множество объектов называемых векторами с определенными операциями векторного сложения и умножения вектора на скаляр, такими, что это множество является группой по векторному сложению и справедливы законы ассоциативности и дистрибутивности для умножения на скаляр. Выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа q из [0, 1] элемент qх+(1-q)у принадлежит Е. Уравновешенным подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Е и числа q, по модулю не превосходящего единицы элемент qх принадлежит Е. Абсолютно выпуклым подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любых его двух элементов х и у и числа любых двух чисел a b : 1³ |a|+|b| элемент aх+bу принадлежит Е. Поглощающим подмножеством Е векторного пр-ва Х называется такое его подмножество, что для любого х из Х существует число a большее нуля, что для все чисел b по модулю не меньших a найдется элемент у из Е, что х равен bу. Калибровочной функцией векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия: Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК р(aх)= a×р(х). Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у). Полунормой векторного пр-ва Х называется такая функция р(х): Х®R, что для нее выполнены следующие условия: Для любого скаляра из К выполнена аксиома уравновешенности: "aÎК ||aх||= |a|×||х||. Выполнено нер-во треугольника: р(х)+ р(у)³ р(х+у). Утв. Пусть р(a) – неотр. калибровочная ф-я. Тогда мн-во Еl={х: р(х)0 $d>0, справедливо |¦(х)-¦(у)|0 p(ax)= ap(x). Однородно-выпуклым фун-лом называется положительно-однородным выпуклый фун-л. Продолжением лин-ого фун-ла ¦0, определенного на подпространстве X0 действительного лин-ого пр-ва X называется такой лин-ый фун-л ¦, определенный на X, что¦(x)=¦0(x) для всех x из X0. Подчиненным фун-лу p(x) на действительном лин-ом пр-ве X называется такой фун-л ¦, что ¦(x)£p(x) для всех x из X. Теорема Хана-Банаха. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л, заданный на действительном лин-ом пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0 , подчиненные на X0 p(x). Тогда ¦0 может быть продолжен до лин-ого фун-ла ¦ на X, подчиненного p(x) на всем X. Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Ее следствия. Однородно-выпуклым на комплексном лин-ом пр-ве X мы будем называть такой неотрицательный фун-л p, что для всех x,y из X и всех комплексных чисел l справедливы соотношения: p(x+y)£p(x)+p(y), p(lx)=| l|p(x). Теорема Хана-Банаха в комплексном случае. Пусть p – однородно-выпуклый фун-л на комплексном пр-ве X, и пусть X0 – лин-ое подпр-во X. Пусть ¦0 лин-ый фун-л на X0, такой, что |¦0 (x)|£p(x) для x из X0. Тогда Существует лин-ый фун-л ¦, являющийся продолжением ¦0, такой, что |¦ (x)|£p(x) для x из X. Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (прямая теорема). Непрерывные лин-ые фун-лы на пр-вах Lp (обратная теорема). Непрерывные лин-ые фун-лы на гильбертовом пр-ве. Непрерывные лин-ые фун-лы на С[а,в] (прямая теорема). Сопряженные операторы. Сопряженным пр-вом A* к лин-ому топологическому пр-ву A называется совокупность всех непрерывных лин-ых фун-лов на A. Сопряженным оператором к лин-ому оператору A, отображающему лин. пр-во X в Y называется такой лин. оператор A*, который отображает пр-во Y* в X*. Теорема Банаха-Штейнгауза. Существование непрерывных функций с расходящимися рядами Фурье. Слабая сходимость. * слабая компактность единичного шара в пр-ве, сопряженном к сепарабельному.