Вот такая задача была предложена на экзамене ученикам старшей школы (не у нас, не знаю точно, где, страна англоязычная, видимо).

Пусть точка  — середина стороны  квадрата . Пусть окружность проходит через точки  и , как показано на рисунке. Что больше: периметр квадрата или длина окружности?

Конечно, есть несколько способов решения этой задачи. Один из них следующий: предположим, что длина стороны квадрата равна . Введем декартову прямоугольную систему координат. Зная координаты точек ,  and , выразим координаты центра окружности. Затем найдем радиус окружности. И наконец, с помощью найденного радиуса найдем длину окружности и сравним ее с периметром квадрата.

Проблема здесь в том, что предполагается, что предложенная задача очень простая. Она не предполагает знания школьником формулы центра окружности, проходящей через три лданные точки. Возникает вопрос: существует ли простой путь решить задачу без знания каких-либо сложных геометрических формул?

Задача найдена здесь:

http://math.stackexchange.com/questions/1188845/does-the-square-or-the-circle-have-the-greater-perimeter-a-surprisingly-hard-pr?utm_campaign=snsdemo&utm_medium=twitter&utm_source=snsanalytics.

Там же в комментариях предлагается много вариантов ее решения. Однако ни один из них мне почему-то не понравился. Они или требуют некой догадки, которая может и не прийти в голову обычному школьнику, или слишком длинные.

Приведу мое решение. На всякий случай, скрываю его, вдруг кто-то захочет сам порешать? 

Показать решение

Вы можете предлагать свои решения. Вдруг найдется еще более простое и короткое?