Главная » Статьи » Математика, алгебра, геометрия [ Добавить статью ]

Вычисление двойных интегралов методом ячеек

Теоретическая часть.

Численные методы могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрением двойных интегралов вида

I=[pic] (1)

Одним из простейших способов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: [pic][pic], [pic].По теореме о среднем найдём среднее значение функции f(x,y):

[pic] S=(b-a)(d-c). (2)
Будем считать, что среднее значение приближённо равно значению функции в центре прямоугольника, т. е. [pic]. Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла:

[pic] (3)

Точность этой формулы можно повысить, если разбить область G на прямоугольные ячейки ([pic]ij (рис. 1): xi-1 [pic]i (i=1,2,…,M), yi-1
[pic]i (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу (3), получим

(((Gijf(x,y)dxdy((([pic])(xi(yi.
Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значение двойного интеграла:

[pic]I,[pic]j) (4)

В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягивания их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции f(x,y).

Можно показать, что погрешность такого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением

Rij([pic](xi(yj[pic].
Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде

[pic]O((x2+(y2).

Таким образом, формула (4) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки.
При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение M/N остаётся постоянным.

Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привести к прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных.
Например, пусть область задана в виде криволинейного четырёхугольника:
[pic], [pic]. Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены [pic], [pic]. Кроме того, формула (4) может быть обобщена и на случай более сложных областей.

Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла [pic], где
[pic] – область, ограниченная функциями [pic].

Текст программы.
#include
#include

float f(float,float);

void main() { const float h1=.0005,h2=.001; float s1,x,y,i,I; clrscr(); s1=h1*h2;
I=0; y=h2/2; x=1-h1/2; for(i=0;i


Чтобы скачать материал, пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь! Это быстро ! )