Главная » Статьи » Математика, алгебра, геометрия [ Добавить статью ]

Статья: Краткое доказательство великой теоремы Ферма

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

 

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

 

Аn+ Вn= Сn*                                   /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах AB, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел АВ или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

 

Аn + ВС= (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1/2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа АВ и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+Bимеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени nследовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

 

Сn = A+ B=(A+B)n∙ Dn , /3/

где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

 /4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn= AnBnпри условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n. Однако известно, что:

 

AnBn < (A+B)n /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

 

С= Аn + В= (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2.   Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

 

AnCnBn/7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

 

A= C- B= (С+B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B+ Cn-3∙ B+…+ C ∙ Bn-2 Bn-1 ). /8/

Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+Bимеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени nследовательно, он является делителем числа A.

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

 

Аn = СnBn=(С+B)n∙ Dn , /9/

где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

 /10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [Аn= СnBnпри условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+B)n. Однако известно, что:

 

СnBn < (С+B)n /11/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /12/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

 

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

 

В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (CnBnраскладывается на алгебраические множители:

C– B(C-B) ∙ (C+B); /13/

 

C– B= (C-B) ∙ (C+B) (C+ B2); /14/

 

C– B(C-B) ∙ (C+B) · (C–CB + B2) ∙ (C+CB+ B2)/15/

 

C– B= (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C+ B2) ∙ (C+ B4). /16/

 

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

 

C– B(2∙ 3) ∙ (2 · 23) = 24 · 3 · 23;

 

C– B(2∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 24 · 3 · 23 · 673;

 

C– B(2∙ 3) ∙ (2 · 23) · (312) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 312 ∙ 577;

 

C– B(2∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 25 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

 

C– B(32) ∙ (41) = 32 ∙ 41;

 

C– B(32) ∙ (41) · (881) =32 ∙ 41 · 881;

 

C– B(32) ∙ (41) ∙ (2∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 33 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;

 

C– B(32) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 32 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

- при заданном показателе степени nесли он четное число, число Аn = СnBnраскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

- при любом показателе степени nесли он четное число, в алгебраическом выражении (CnBnвсегда имеются множители (C-Bи (C+B);

- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.


Чтобы скачать материал, пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь! Это быстро ! )