Главная » Статьи » Математика, алгебра, геометрия [ Добавить статью ]

Сочинение: Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

Алгебраическое доказательство теоремы пифагора Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: С2=А2 + В2, /1/ где: С - гипотенуза; А и В - катеты. Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми. Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах. Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом: А2 = С2 -В2 /2/ Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных. Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде: А2= (C-B) (C+B) /3/ Используя метод замены переменных, обозначим: C-B=M /4/ Из уравнения /4/ имеем: C=B+M /5/ Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем: А2 =M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2 /6/ Из уравнения /6/ имеем: А2 - M2=2BM /7/ Отсюда: B = /8/ Из уравнений /5/ и /8/ имеем: C= /9/ Таким образом: B = /10/ C /11/ Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2. Числа А и M должны иметь одинаковую четность. По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M. Из изложенного следует: Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1). Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C. Все числа являются пифагоровыми. Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.


Чтобы скачать материал, пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь! Это быстро ! )