Главная » Статьи » Математика, алгебра, геометрия [ Добавить статью ]

Преобразования плоскости

Преобразования плоскости Отображение плоскости на себя Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них: Движения Параллельный перенос Осевая симметрия Поворот вокруг точки Центральная симметрияПодобие Гомотетия Движение Движением называется отображение плоскости на себя при которром сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств: Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой. Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда выполняются равенства A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1) Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника: AB0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY. Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия. Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'. Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия Гомотетия Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k<0. При k =- 1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование. Основное свойство гомотетии При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на k . Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффффициентом k перешли в точки A ' и B ', то A 'B ' = k A B Доказательство. Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда O A ' = k O A , O B ' = k O B . Поэтому A 'B ' = O B ' - O A ' = k O B - k O A = k (O B - O A ) = k A B . Из равнетсва A 'B ' = k A B следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|. Отметим, что любое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения. Некоторые свойства гомотетии Гомотетия отрезок переводит в отрезок. Гомотетия сохраняет величину углов. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1 и k2 ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k. Свойства подобия. Подобие отрезок переводит в отрезок. Подобие сохраняет величину углов. Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k 2. Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2. Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/k .


Чтобы скачать материал, пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь! Это быстро ! )