Главная » Статьи » Математика, алгебра, геометрия [ Добавить статью ]

Преобразования фигур

I. Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры. II. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение. Подобие Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY. Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки. 2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми 3. Подобие переводит плоскости в плоскости. Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия. Гомотетия Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX. Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1). Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и ( - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости (. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости (. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость (перейдет в плоскость (’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости ( и (’ параллельны, что и требовалось доказать. Движение Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A1,B1,C1. То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A1 и C1. Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой. Если точка A1,B1,C1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A1C1


Чтобы скачать материал, пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь! Это быстро ! )