Главная » Статьи » Математика, алгебра, геометрия [ Добавить статью ]

Матанализ

1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами.
Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-
) Вид М/N, где (N[pic] 0) M и N- взаимно простые целые числа.
Иррациональные - ?2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1
2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+ i(b1a2-a1b2)a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2- a1b2/a2І+b2І)
3 Тигонометрическая форма комплексного числа

Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?) r – модуль; ? – аргумент. b – y; a – x.
4 ZЄ=rЄ(cos A?+i*sin A?)
5 Є?Z=Є?r(cos ?+2?k/а +i *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1)
Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.
6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n
) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью
1,1,1,1,1…1
1,1/2,1/3…1/N
1,-1,1,-1…(-1)Є
Xn,n?N
Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E lim Xn = A n>?
Число А есть предел последовательности Xn если для любого ? > 0 найдётся такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в ?-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.
7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел
(сходится).
Cвойства пределов: если Хn=С то lim Xn=C n>? пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B n>? n>? lim (Xn*Yn)=A*B lim (Xn/Yn)=A/B
; B?0

если Xn?Yn для n?N то lim Xn ? lim Yn n>? n>?
8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена
Последовательность Xn; n?N наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |?M; n?N
Если lim Xn=0, то Xn; n?N наз. БМВ обознач (?n,?n,?n) n>?
Св-ва БМВ: lim ?n=0 n>? lim (?n±?n)=0 n>? lim (Xn*?n)=0; если Xn-ограничена n>?
В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения
БМ одного порядка с Х: sin X ~ X eЄ-1 ~ a tg X ~ X (1+x)Є ~ ax
1 – cos X ~ XІ/2 arctg X ~ X
LOGe(1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx
9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.
[pic]
Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда
Если при n>? lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .
Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм.
Прим:
[pic]при каких q сходится и расходится ? сходится к сумме S=a/1-q при | q |? то ряд сходится если l1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён.

Признак Коши

SAn – знакополож. ряд lim Є?An=q n>? q1 – расходится.
12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

An>0

Признак Лейбница:

Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и предел Аn при n>? =0 то ряд сходится пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n
13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х?Х соответствует значение y?Y. х-аргумент y=kx+b – линейная ф-ия y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия
Обратная ф-ия – ф-ия x=?(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если x=?(f(x)) для всех х?Х
Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х. y=XЄ и y=LOGxA – примеры
14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ?>0, найдётся такое положительное число ?(?)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 |0
41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений
(x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких переменных Z=f(x1…xn)
Если сущ-ет lim(?x>0)f(x+?x,y)-f(x,y)/?x=fx`(x,y) то он называется частной производной по переменной х.
Если сущ-ет lim(?y>0)f(x,y+?y)-f(x,y)/?y=fy`(x,y) то он называется частной производной по переменной y
Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)
Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn
Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на приращение соответствующих независимых переменных.
42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой т. равны 0.
43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных получили название эмпирических формул
Этапы вывода ЭФ:
1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.)
2 Определение известных параметров этой ф-ии

Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших квадратов
44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.
Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие обращает его в тождество.
ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию y=f(x) и её производную y`=f`(x)
ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б представленно в виде dy/dx=f(x)g(y)
Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав- ва: dy/g(y)=f(x)·dx > ? dy/g(y)=? f(x)·dx

|f(x) |f`(x)|f(x) |f`(x)|
|c |0 |xЄ |axЄ?№|
|x |1 |xІ |2x |
|?x |2?x |arcco|-1/?1|
| | |s x |-xІ |
| | | ||x|


Чтобы скачать материал, пожалуйста, авторизуйтесь или зарегистрируйтесь! Это быстро ! )