Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости. Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) [pic], задано некоторое распределение [pic]с функцией распределения [pic]и [pic] — произвольная с. в., имеющая распределение [pic]. Определение. Говорят, что последовательность с. в. [pic]при [pic]сходится слабо или по распределению к с. в. [pic] и пишут: [pic], или [pic], или [pic], если для любого [pic]такого, что функция распределения [pic]непрерывна в точке [pic], имеет место сходимость [pic] при [pic]. Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения. Свойство 1. Если [pic], и функция распределения [pic]непрерывна в точках [pic]и [pic], то [pic] и т.д. (продолжить ряд). Наоборот, если во всех точках [pic]и [pic]непрерывности функции распределения [pic]имеет место, например, сходимость [pic], то [pic]. Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями. Свойство 2. 1. Если [pic], то [pic]. 2. Если [pic], то [pic]. Свойство 3. 1. Если [pic]и [pic], то [pic]. 2. Если [pic]и [pic], то [pic]. Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема. Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная теорема. Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: [pic]. Обозначим через [pic]сумму первых [pic]случайных величин: [pic]. Тогда последовательность случайных величин [pic] слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Доказательство. Пусть [pic] — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через [pic]математическое ожидание [pic]и через [pic] — дисперсию [pic]. Требуется доказать, что [pic] Введем стандартизированные случайные величины [pic] — независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть [pic]есть их сумма [pic]. Требуется доказать, что [pic] Характеристическая функция величины [pic]равна [pic] Характеристическую функцию с.в. [pic]можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты [pic], [pic]. Получим [pic] Подставим это разложение, взятое в точке [pic], в равенство и устремим [pic]к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом: [pic] В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости : [pic] распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ. Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения [pic]любого нормального закона непрерывна всюду на [pic], утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов: Следствие. Пусть [pic] — независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ. . Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость [pic] . Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость [pic] . Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость [pic] . Если [pic] — произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то [pic] Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа. Предельная теорема Муавра — Лапласа. Пусть [pic] — событие, которое может произойти в любом из [pic]независимых испытаний с одной и той же вероятностью [pic]. Пусть [pic] — число осуществлений события [pic]в [pic]испытаниях. Тогда [pic]. Иначе говоря, для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость [pic] Доказательство. По-прежнему [pic]есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха [pic]: [pic] [pic] Осталось воспользоваться ЦПТ. Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ. Пример 1. З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую. Р е ш е н и е. Требуется найти [pic], где [pic], [pic] — число выпадений герба, а [pic] — независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на [pic]и поделим на корень из дисперсии [pic]одного слагаемого. [pic] Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность [pic] слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с. в. [pic], имеющую распределение [pic]. [pic] Пример 2. Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ, а математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как = - где , - среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr: Тr = [(Т0(()/(()](((DQ + 2(DN) 0.5 - где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых случаев. В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия равна нулю), имеем: Тr = (Т0(()/N0.5 Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня страховых выплат значительно меньше единицы. При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная величина всех рисковых надбавок.